Теорема единственности предела

Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство.

Пусть последовательность xn одновременно имеет два предела, A и B, неравных между собой. Тогда по определению предела, для любого ε>0, а в том числе и для
верно, что начиная с некоторого n1 вся последовательность xn лежит в ε-окрестности A и начиная с некоторого n2 вся последовательность xn лежит в ε-окрестности B. Тогда пуская nε = max(n1, n2), а тогда начиная с этого nε последовательность обязана лежать в ε-окрестности двух этих точек одновременно, что не возможно, так как ε-окрестности точек A и B не пересекаются.

Значит, такое невозможно, и последовательность может иметь не более одного предела.

Для функций доказывается так же.