какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, сумма квадратов катетов которого равна 18 ?

По теормеме Пифагора гипотенуза равна c = √18
Проекции катетов на гипотенузу x и (√18 - x)
Высота, проведенная к гипотенузе h = √(x·(√18 - x))
Площадь треугольника S(x) = ½h·√18 = ½√(x·(√18 - x)) ·√18
Находим производную по х для функции S(x) и приравниваем к нулю
S'(x) = 0
xmax = 3/√2 (это будет половина гипотенузы, т. е. площадь максимальна когда треугольник прямоугольный равнобедренный)
Smax = S(xmax) = 9/2