Можно ли заниматься спортом при болях в мышцах?

Это зависит от целей тренировок в данный период времени. Если Вы стремитесь к набору мышечной массы или к повышению силовых результатов, то тренировку лучше пропустить, потому что боль говорит о незавершении восстановления мышц. Но если они еще не восстановились, то тем более не выросли. Смысла снова их нагружать нет.)) )
Если Вы тренируетесь просто для поддержания формы и получаете удовольствие, то тренироваться можно, разве что дать на болящие мышцы облегченную нагрузку (меньший вес, больше повторений) . Таким образом Вы просто прокачаете их кровью, что даже ускорит восстановление, и удовольствие все равно получите.
Если цель тренировок - сжигание жира, то опять же тренироваться можно, и даже нужно, но дать на больные мышцы более объемную, но менее интенсивную нагрузку (меньше веса, больше повторений) , потому что задача при таком режиме - потратить определенное количество энергии за тренировку. Как Вы ее потратите - это не принципиально. Хоть просто бегайте.