Как пишется и почему? (Не) сумевший реализовать себя в жизни, Базаров проявляет свои лучшие качества перед лицом смерти.

Это не деепричастие, а причастие!

Базаров (какой?) | не сумевший реализовать себя в жизни |. Это причастный оборот. Причастия, имеющие зависимые слова или входящие в состав причастного оборота, пишутся РАЗДЕЛЬНО.

А на счёт деепричастий вообще: все деепричастия пишутся с не раздельно, кроме деепричастий, образованных от глагола с приставкой -недо-. Они пишутся слитно, например: постоянно недосыпая, недовыполнив норму. Но в приведённом вами предложении нет никакого деепричастия!!!

Понятно, что"не" пишется раздельно, а почему, надо заглянуть в учебник русского языка...