Построить отображение отрезка [-1, 1] в отрезок [0, 1] так, чтобы это отражение было взаимо однозначным соответствием

Вариантов бесчисленное множество, самый простой — линейное отображение:
y = (x+1)/2; тогда x = 2y−1 — имеем взаимно однозначное соответствие.

А вот вариант посложнее:
y = 1 − (arccos x)/π
тогда x = cos(π(1−y))