Помогите решить контрольную!решите любые

1. Дан тетраэдр ABCD, в котором М, N и Р — внутренние точки ребер AD, DB и DC соответственно — выбраны так, что прямые МР и АС пересекаются в точке Y1, прямые РN и ВС — в точке Y2, прямые МN и АВ — в точке Y3. Найдите длину отрезка Y2Y3, если Y1Y2 = 3, Y1Y3 = 5.

2. ABCD — трапеция ( AB CD), в которой ADC = 50°. Точка М выбрана вне плоскости этой трапеции так, что отрезки МD, МC и МB равны, а отрезок МА перпендикулярен плоскости АВС. Найдите углы трапеции.

3. В правильном тетраэдре ABCD с ребром 2 точка М — середина ВD.

а) Докажите, что прямая ВD перпендикулярна плоскости АМС.

б) Через точку пересечения медиан треугольника АDС проведите прямую, перпендикулярную плоскости АМС.

в) Найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри тетраэдра.

г) В каком отношении делит этот отрезок плоскость АМС?

д) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через середину СМ перпендикулярно прямой АС.
1. Дана треугольная призма ABCA1B1C1, в которой М, K, N и Р — внутренние точки ребер BB1, B1C1, A1C1 и AA1 соответственно — выбраны так, что прямые MN и KР пересекаются. Пусть прямые МK и ВС пересекаются в точке X1, прямые NР и АС — в точке X2, прямые МР и АВ — в точке X3. Найдите длину отрезка X1X3, если X1X2 = 10, X2X3 = 12.

2. Точка М выбрана вне плоскости ромба ABCD так, что отрезки АМ, ВМ и СМ равны, а отрезок МD перпендикулярен плоскости АВС. Найдите углы ромба.

3. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.

а) Докажите, что прямая A1C1 перпендикулярна плоскости BDD1.

б) Докажите, что плоскость A1C1D перпендикулярна прямой BD1.

в) Через точку K — середину C1D1 — проведите прямую, перпендикулярную плоскости A1C1D.

г) Найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба.

д) В каком отношении, считая от точки K, плоскость A1C1D делит этот отрезок?