Помогите решить забавную задачу по геометрии)
высота прямоугольного треугольника опущенная на гипотенузу делит треугольник на 2. расстояние между центрами окружностей вписанных в эти эти треугольники равно одному. найдите радиус окружности вписанной в исходный треугольник
Попробуйте так:
АВС - данный прямоугольный треугольник, угол С = 90 градусов.
Пусть АС < ВС.
СК - высота, опущенная на гипотенузу. Тогда треугольники АКС и ВКС - прямоугольные.
r1 - радиус окружности, вписанной в треугольник АКС,
r2 - радиус окружности, вписанной в треугольник ВКС. r2 > r1.
О1 и О2 - центры этих окружностей соответственно.
Тогда
(O1O2)^2 = (r2 + r1)^2 + (r2 - r1)^2.
Упростив, получаем:
(O1O2)^2 = 2(r2)^2 + 2(r1)^2
1 = 2(r2)^2 + 2(r1)^2
Отсюда (r2)^2 + (r1)^2 = 1/2
S(ABC) = S(AKC) + S(BKC)
S = S1 + S2.
1 = S1/S + S2/S
Треугольники АКС и АСВ подобны, треугольники ВКС и ВСА тоже подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты линейных измерений.
Тогда
1 = S1/S + S2/S = (r1)^2 / r^2 + (r2)^2 / r^2 = ((r1)^2 + (r2)^2) / r^2,
Отсюда имеем:
r^2 = (r1)^2 + (r2)^2,
r^2 = 1/2,
r = sqrt 2 / 2