Существует ли слово "навроде"? Точнее я, конечно, знаю, что не существует, но мне нужно достойное доказательство того.

Если его кто-то произносит, значит, оно существует, но вот к какой лексике относится - другой вопрос.
У слова есть помета "просторечное".
Термин «просторечие» был введён Дмитрием Ушаковым в значении «речь необразованного и полуобразованного городского населения, не владеющего литературными нормами» .
Просторечие реализуется в устной форме речи; при этом оно может получать отражение в художественной литературе и в частной переписке лиц — носителей просторечия. В целом сфера функционирования просторечия весьма узка и ограничена бытовыми и семейными коммуникативными ситуациями
Таким образом, в литературном нормированном языке нет, а в устной разговорной речи есть.