Числовая прямая - это открытое или замкнутое множество?
Рассмотрим числовую прямую как одномерное метрической пространство и попытаемся решить, замкнутым или открытым множеством является она сама. По определению,
замкнутое множество - это множество, содержащее все свои предельные точки (предельной точкой множества М называется точка, в любой окрестности которой найдется
бесконечное множество точек множества М) . Очевидно, что все предельные точки числовой прямой лежат на ней самой, больше им в нашем одномерном рассмотрении и
лежать-то негде (более того, у нее каждая точка - предельная) . Следовательно, по определению замкнутого множества числовая прямая замкнута.
Однако есть теорема, согласно которой объединение любого (в том числе бесконечного) числа открытых множеств есть открытое множество. А числовую прямую можно
рассмотреть как объединение открытых множеств. Действительно, рассмотрим объединение интервалов (открытых промежутков) с концами в целых числах:
...(-2;-1), (-1;0), (0,1), (1;2)....(I)
Такое объединение покроет всю числовую прямую, кроме самих целых чисел ...-2, -1, 0, 1,...Однако их можно покрыть другим набором интервалов, например:
....(-5/2;-3/2), (-3/2;-1/2), (-1/2;1/2), (1/2;3/2)....(II)
Открытый конец каждого интервала из набора (I) покрывается интервалом из набора (II), и наоборот. Следовательно, объединение всех интервалов из наборов (I) и (II)
вполне покрывает числовую прямую. Поскольку каждый интервал есть открытое множество, числовая прямая представима как объединение открытых множеств - и, по
теореме, должна быть открыта.
А по определению замкнутого множества - замкнута. Такие дела.
Может быть, вопрос, замкнутым или открытым множеством в метрическом пространстве является само метрическое пространство, вообще нельзя ставить (ну как нельзя
рассматривать множество всех множеств, множества, содержащие в качестве элемента самих себя, и так далее) ? А если так, то не найдется ли ссылочка на литературу, где
это прямо указано? Или где-то в вышеприведенных рассуждениях ошибка?
Спасибо заранее.
P.S. Да, числовая прямая рассматривается одновременно и как закрытое, и как замкнутое множество. Она замкнута, так как содержит все свои предельные точки, и открыта, так как любая ее точка имеет окрестность, целиком лежащую на числовой прямой.
Все остальные ответы - неправильны.
Всем спасибо.
я не спец, но:
дополнение к числовой прямой - пустое множество - одновременно и открытое, и закрытое множество.
как по мне, так возможно, и сама прямая - тоже
Что заставляет думать, что замкнутое множество не может быть открытым? Ведь дверь может быть запертой, но открытой: язычок замка только высунется.
Без точки "бесконечность" - открытое (как сегмент) , с бесконечностью - замкнутое, как отрезок. Не надо много слов - достаточно определения замкнутости.