Нахождение минимального возможного периметра прямоугольника.

Question

Нахождение минимального возможного периметра прямоугольника.

Александр Фёдоров Ученик (204), закрыт 7 лет назад

Всем доброго времени суток. Я перешёл из 10 класса в 11, в прошедшем учебном году я многое пропустил по болезни, поэтому я нагоняю сейчас самостоятельно. Я разобрался с нахождением производных, экстремумами, с нахождением наибольшего значения функции на заданном промежутке, но я не могу понять, как решать подобные задачи с геометрическими фигурами. Пожалуйста, объясните.
Задача:
Площадь прямоугольника равна 81 см^2. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

Answer 1

Пусть стороны Х и У, тогда периметр будет 2*(Х+У) , площадь будет Х*У.
По условию:
х*у = 81
Преобразовав уравнение получаем:
х = 81 / у
Подставим выражение в формулу периметра:
2 * ( 81/у + у)
Рассмотрим эту функцию.
f(y) = 2*(81/y + y)
Найдем ее производную.
f(y) ' = (2 * ( 81/у + у) ) ' = - 162 / y^2 + 2
Найдем точку экстремума:
- 162 / y^2 + 2 = 0
y^2 = 81
y1 = 9
y2 = - 9
Точка минимума при у=9, значит одна сторона прямоугольника равна 9 см, другая
81 / 9 = 9 см
Стороны прямоугольника 9 и 9 см (квадрат)
Периметр:
2 * (9+9) = 36 см