Кто может простыми словами объяснить что такое Вэйлеты.
Это один из методов математического анализа нестанционарных процессов. Ситуация такова. Пишу кандидатскую диссертацию. Столкнулся с необходимостью описать существующие методы какими решается моя проблема. Одним из таких методов являются эти самые вэйлеты. Я сам физик. Электротехник. А этот метод из разряда высшей математики. Мой и без того перегруженный мозг не может понять этот принцип. Нужен либо человек, способный просто объяснить. Либо подсказка где оно описано в наиболее доступной форме
Если ты электротехник, то наверняка из курса ТОЭ помнишь как токи или напряжения раскладывались в ряды Фурье. Так вот вейвлеты ничто иное как другая форма такого разложения. Если ряды Фурье раскладывают гармонические процессы через тригонометрические функции, то вейвлеты могут описать любой вид функций. Сам вейвлет в переводе означает волна и представляет собой функцию (они бывают разные: вейвлет Хаара, вейвлеты Добеши, вейвлеты Гаусса, вейвлет Мейера и т. д. )
Суть в том что этими маленькими отрезками-волнами можно описать любой график изменения нагрузки или тока, напряжения и т. п. путем их сужения, растяжения, масштабирования.
Вейвлет == примерно то же, что и лупа. Какой-то учвсток (данных, отсчётов) подролбно рассматривактся (учитывается) , а остальные в меньшей мере. Это и задаётся вейвлет-функцией. Во многом произвольная функция, залаюзая относительный "вес" данных учитывающая посторонние соображения по смыслу задачи, но есть некоторые формальные требования, чтобы сохранить сопоставимость результатов.
Только не вэйлеты, а вэйВлеты.
От английского слова wave - волна.
Это обобщение преобразования Фурье и разложения Фурье.
В обычном разложении Фурье Вы раскладываете какую-нибудь функцию по бесконечному набору ортогональных функций. Примерно так, как в обычном векторном пространстве Вы любой вектор можете разложить по осям координат. Вы можете выбрать любые оси координат, главное, чтобы базисные вектора этих осей координат были ортогональными, то есть их скалярные произведения были равны нулю.
В обычном разложении Фурье Вы можете также выбрать любой набор ортогональных функций. Это могут быть наборы синусов-косинусов, набор функций Бесселя, набор полиномов Лежандра, полиномов Лягера, полиномов Эрмита и т. д. Выбор подходящего базиса определяется удобством. Например, если функция периодическая, то самый подходящий для неё базис разложения это базис из синусов и косинусов.
А вейвлет обобщает это разложение Фурье следующим образом.
Мы можем в обычном пространстве рассматривать разложение вектора как проекцию этого вектора на координатную ось. Поэтому, например, при разложении в Фурье, скажем по синусам-косинусам мы можем каждый член разложения рассматривать тоже как проекцию нашей функции на конкретный синус или косинус из набора ортонормированных функций.
Но в отличие от векторов в векторном пространстве, любая функция имеет еще один параметр - это свой аргумент, относительно которого меняется данная функция. Вот если рассмотреть такое фурье-разложение, где аргументы функции не совпадают с аргументами набора, по которому раскладывают функцию, то мы получаем вейвлет-разложение.
Например, если мы смотрим классическое разложение функции f(x) по ортогональному базису g(n,x), где n пробегает от нуля до бесконечности, то коэффициенты A(n) этого разложения являются константами, они зависят только от номера n.
f(x) = Sum(A(n)* g(n,x))
А для этого же базиса в Ввэйвлет мы имеем коэффициенты зависящие не только от номера, но и от смещения аргумента y.
f(x) = Sum(A(n,y)* g(n,x-y))
Базис g(n,x-y) остается по прежнему ортогональным, поэтому разложение в такой ряд справедливо.
Эти обобщенные разложения пытаются применять при анализе и прогнозировании нестационарных процессов, потому что они очень хорошо зарекомендовали себя при анализе и прогнозировании случайных стационарных процессов.
Правда пока больших успехов в прогнозировании нет. А что касается анализа, то для анализа на выбранном строго фиксированном интервале нет никакой разницы, стационарный процесс или нет.
Например, вейвлет-методы хорошо работают в проблеме распознавания слабого радиосигнала, который утоплен в сильном шуме.
Обычный Фурье метод в этой проблеме работает только тогда, когда заранее известен, какой сигнал мы хотим почистить от шума. Например, если заранее известно, что это монохромная волна, то применяется разложение Фурье обычное классическое по синусам-косинусам. При таком разложении шума с монохромной волной получается практически равномерный спектр с одним единственным максимумом на частоте монохромной волны. Но если это непериодический сигнал, то такой трюк уже не удается. Вы не сможете разделить между собой спектр шума и спектр искомого сигнала применяя классический синусный Фурье. Если вам заранее известно, что сигнал имеет форму функции Бессселя, то Вы можете разложение сделать Фурье-разложение по набору функций Бесселя и опять очень хорошо разделить шум и сигнал. Но если сигнал идет не в виде функции Бесселя, то опять ничего не получится.
А перебирать все Фурье-разложения невозможно физически. Их бесконечно много.
Вейвлет-разложение с функциями, например, прямоугольного вида позволяют надежно отделить сигнал от шума.
сложно /: