Стоит ли писать в Резюме работы где проработал по месяцу?

Начнутся вопросы, почему так быстро уходил. И это, поверь, не в твою пользу. Правда, если есть запись в трудовой, от нее никуда не деться. Придется писать.

Пиши, из песни слов не выкинешь

Если не по трудовой, а по договору, увеличь в резюме продолжительность работы и принеси копию договора.

стоит, если добавлять что работа была временной, не по трудовому договору, а по договору подряда

Зависит от профиля работы и вакансии, иногда да, но чаще нет