Почему ахилес очень зол на гектора и вступает с ним в поединок? "Илиада" Гомер

Потому что тот убил его брата.

Гектор убил Патрокла, лучшего друга Ахиллеса.

На десятом году осады Илиона Ахиллес взял в плен прекрасную Брисеиду. Она послужила яблоком раздора между Ахиллесом и Агамемноном, который свою пленницу Астиному вынужден был вернуть её отцу Хрису, и потому заявил притязание на обладание Брисеидой. Разгневанный Ахиллес отказался от дальнейшего участия в битвах (ср. с аналогичным отказом сражаться оскорблённого Карны, величайшего героя индийского сказания «Махабхарата»).Фетида, желая отомстить Агамемнону за обиду, нанесённую её сыну, умолила Зевса даровать победу троянцам. Ни бедствия греков, ни мольбы и обещания посольства, которое, по совету Нестора, снарядил к Ахиллесу Агамемнон, не могли смягчить гнева героя. Только когда троянцы, предводимые Гектором, вторглись в сам лагерь греков, он разрешил Патроклу повести на помощь грекам мирмидонян и для большего устрашения врагов приказал ему облечься в свои доспехи. Но Патрокл пал от руки Гектора, и лишь обнажённый труп его был отбит греками у троянцев, доспехи же Ахиллеса достались в добычу Гектору. Тогда Ахиллес, безоружный и в сопровождении Афины, появился на поле битвы, и один его вид обратил троянцев в бегство.
На следующее утро Фетида принесла ему новые доспехи, скованные искусной рукой самого Гефеста (в особенностищит описывается в Илиаде, как дивное произведение искусства, — описание, имеющее важное значение для первоначальной истории греческого искусства) . Горя мщением, он ринулся в бой и прогнал троянцев до городских стен; один лишь Гектор осмелился противостоять ему, однако всё же обратился в бегство от Ахилесса. Преследуя его, Ахиллес три раза заставил Гектора обежать вокруг стен Трои, наконец, настиг и убил его, привязал обнажённый труп к своей боевой колеснице и повлёк за собой в лагерь греков. Пышно отпраздновав тризну по своему Патроклу, Ахиллес вернул за богатый выкуп труп Гектора его отцу, царю Приаму, который явился в его палатку молить об этом.

Потому что Гектор убил Патрокла-любовника Ахиллеса