Как называется такая штука которую ставят на зубы после ношения брекет?

Капы

Ретейнер это называется (тоненькая металлическая проволока с обратной стороны зубов). Не снимается.
Или капа (съемная и прозрачная).

Ретейнер носят от нескольких лет до пожизненного срока (если поздно ставили брекеты, например, лет в 25-30, но носят обычно пожизненно, если раньше то 2-4 года).
Капу носят регулярно обычно 1 год, а потом еще несколько лет надевают только на ночь.

Но всё точно устанавливает врач.