Доказать методом математической индукции 1/13 + 1/35 + .+ 1/(2n-1)(2n+1) = n/2n+1

Question

Доказать методом математической индукции 1/13 + 1/35 + .+ 1/(2n-1)(2n+1) = n/2n+1

Анастасия Фролова Ученик (106), закрыт 9 лет назад

Помогите пожалуйста, и объясните подробнее... я никак не могу понять эту тему

Answer 1

(1) Для n = 1:

1/((2*1-1)(2*1+1)) = 1/3 = 1/(2*1+1)

(2) Допустим, что формула справедлива для n = k:

1/(1*3) + 1/(3*5) + .+ 1/((2k-1)(2k+1)) = k/(2k+1).

Докажем, что она тогда верна и для n = k+1, то есть что

1/(1*3) + 1/(3*5) + .+ 1/((2k-1)(2k+1)) + 1/((2(k+1)-1)(2(k+1)+1)) = (k+1)/(2(k+1)+1).

Пользуясь индукционным предположением, получаем:

1/(1*3) + 1/(3*5) + .+ 1/((2k-1)(2k+1)) + 1/((2(k+1)-1)(2(k+1)+1)) =
k/(2k+1) + 1/((2(k+1)-1)(2(k+1)+1)) =
k/(2k+1) + 1/((2k+1)(2k+3)) =
k(2k+3)/((2k+1)(2k+3)) + 1/((2k+1)(2k+3)) =
(2k^2+3k+1)/((2k+1)(2k+3))

Но

2k^2+3k+1 = (2k+1)(k+1),

поэтому

(2k^2+3k+1)/((2k+1)(2k+3)) =
(2k+1)(k+1)/((2k+1)(2k+3)) =
(k+1)/(2k+3) = (k+1)/(2(k+1)+1),

что и требовалось доказать.

Answer 2

проверь при n=1
придположи, что при N верно, докажи для N+1, то есть выпиши формулу для N и получи из нее фолрмулу для N+1

а вообще-то равенство проще в лоб получить

Answer 3

1) Для n=1 1/1*3 = 1/(2+1) - условие выполняется.
2) Пусть условие выполняется для n первых членов ряда, тогда, Для (n+1)-го слагаемого имеем значение
1/(2(n+1)-1)(2(n+1)+1) = 1/(2n-1)(2n+3) = 1/(4n^2+2n-3)
Найдём сумму первых (n+1) членов ряда:
n/(2n+1) + 1/(2n-1)(2n+3) = (n(4n^2+2n-3) + 2n + 1)/(2n+1)(2n-1)(2n+3) = (4n^3+2n^2-n+1)/(8n^3+12n^2-2n-3) = (n+1)(4n^2-2n+1)/(2n+3)(4n^2-2n+1) = (n+1)/(2n+3) = (n+1)/(2(n+1)+1) - Второе условие тоже выполняется, значит утверждение верно

Доказать методом математической индукции 1/1*3 + 1/3*5 + .+ 1/(2n-1)(2n+1) = n/2n+1

Доказать методом математической индукции 1/13 + 1/35 + .+ 1/(2n-1)(2n+1) = n/2n+1