КАК ПИШЕТСЯ? ПО-ПРОФЕССИИ ИЛИ ПО ПРОФЕССИИ? КАК ПИШЕТСЯ? ПО-ПРОФЕССИИ ИЛИ ПО ПРОФЕССИИ? и почему?

без тире

По профессии.
Дефис обычно пишется с наречиями, например "по-простому", а тут существительное

Если бы "по-профессиОМУ" или "по-професСКИ"... Но таких наречий ещё не изобрели.
А между предлогом и существительным никакой дефис не ставится.
Идёт по дороге. Он, вообще, по жизни такой. По профессии он повар. Он по возрасту не подходит. И по характеру не годится.