Решить уравнение (x+y)y'-1=0

Сделаем замену переменных x+y=v(x), тогда y'=v'-1, и ДУ примет вид:
v*(v'-1)-1=0 или v*v'=v+1 - пришли к ДУ с разделяющимися переменными.
Соответственно разделяем их:
(vdv)/(v+1)=dx
Теперь интегрируем обе части. В левой части интеграл от (vdv)/(v+1)=интегралу от [(v+1-1)dv]/(v+1)=интегралу от (1-1/(1+v))dv=v-ln|1+v|
Таким образом:
v-ln|1+v|=x+ln|C| или e^v/(1+v)=C*e^x - решение, где C - константа, а v=x+y.