Подскажите, прав ли начальник когда просит переписать заявление за свой счёт по семейным обстоятельствам

это не принципиально, но обычно пишут от руки, так по подчерку понятно кто писал, а напечать и директор за вас может

То, что заявления работника при приеме, в отпуск и при увольнении пишутся от руки это требование кадрового делопроизводства. За напечатанные заявления трудовые инспекции могут и оштрафовать, так как бывали случаи, что работник потом отказывался от такого заявления. Максимум допустимо заполнить бланк заявления.