Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиПоискОблакоComboВсе проекты

Кто сможет доказать это неравенство?

Пользователь удален Ученик (37), закрыт 12 лет назад
Для неотрицательных a,b,c a+b+c=3 доказать неравенство b√a + c√b +a√c≤3
Лучший ответ
* * Просветленный (29431) 12 лет назад
Доказательство основано на том, что скалярное произведение векторов (х, у)
не превосходит произведения их длин |x|*|y|

1.Докажем, что √a+√b+√c <=3.
Вектор x(√a, √b,√c), длина х равна |x|=√(a+b+c)= √3
Вектор y(1,1,1), длина y=√3.
(x,y) <=|x|*|y| <=3
(x,y) =√a+√b+√c <=3

2.Докажем, что ab+bc+ac <=3
(√a+√b+√c)^2=a+b+c+2√(ab)+2√(bc)+2√(ac)
2√(ab)+2√(bc)+2√(ac) =(√a+√b+√c)^2-(a+b+c) <= 9-3=6
√(ab)+√(bc)+√(ac) <= 3

3.b√a + c√b +a√c=√b*√(ab)+ √c*√(bc)+√a*√(ac)
Вектор x(√b, √c,√a), длина х равна |x|=√(a+b+c)= √3
Вектор y(√(ab), √(bc),√(ac)), длина y =√(ab+bc+ca) <= √3.
(x,y) <=|x|*|y| <=3
(x,y)= √b*√(ab)+ √c*√(bc)+√a*√(ac) <=3

Вроде все доказано.

Источник: Может, кто проще придумает
Остальные ответы
Похожие вопросы