Обязательно ли оплачивать своей картой гос. пошлину через госуслуги?

Не обязательно. Главное-указать, кто плательщик (не владелец карты, а, так сказать, владелец платежа), и обязательно сохранить на руках квитанцию об оплате, где опять же вы будете стоять в качестве плательщика.
Например, я владею машиной, на которой иногда ездит мой отец. Если приходят штрафы, то оплачивает их он, хотя, как плательщик, стою я.

Желательно, так как налоговые службы оплаты по чужой карте не принимаю во внимание.

Да, конечно