Почему производная связана с интегралом, если интеграл это площадь криволинейной трапеции?

Это вопрос весьма и весьма глубокий. Математическое открытие того, что проведение касательной и вычисление площади есть задачи родственные - одно из величайших в истории науки. Предлагаю почитать, как про это в Детской энциклопедии написано: http://bse.uaio.ru/DE/0202.htm#a2020

Дифференцирование - это нахождение функции. И интегрирование - это нахождение функции.

А площадь - это определённый интеграл. И есть разность (или сумма) этой самой первообразной функции при разных значениях аргумента.

И далеко не всегда это площадь. Интегрированием находят и объём, и момент инерции, и путь от скорости, и скорость от ускорения...

ну так интеграл не просто площадь трапеции. это сумма бесконечно малых слагаемых в изменяющейся тыскызыть, обстановке. Например, неравномерное движение, и проч.
а производная это скорость еного изменения

Интегрирование - действие ОБРАТНОЕ дифференцированию.