Как найти собственную частоту колебаний воды?
Вычислить собственную частоту колебаний воды в системе трубопровода
Не получается данный ответ, помогите, пожалуйста!
Правильный Ответ: w=sqrt(2*g/ПИ*R)
нарушим равновесие в кольце, тогда, например, справа уровень воды поднимется на dx, а слева опустится на dx. разность уровней будет 2dx. столб воды такой высоты будет оказывать на нижележащую воду давление p=po*g*2dx, следовательно действовать силой F=pS. по второму закону Ньютона ma=-F. знак минус указывает на то что направление движения и направление силы противоположны (т, е, сила возвращающая). распишем (1). F=po*gS*2dx, m=po*V=po*LS, где L=piR - длина столба воды. подставляя имеем a=-(2g/piR)*dx, а т. к. a=x``, то имеем дифференциальное уравнение x``=-(2g/piR)*dx (2). это уравнение гармонических колебаний, его решение x=sinwt. отсюда x``=-w^2*sinwt (3). сравнивая (2) и (3) имеем w=√(2g/piR).
Пусть справа водичка поднялась на малую величину h, а слева опустилась на ту же величину. Тогда её потенциальная энергия увеличится на U(h) = ρSgh². Жесткость системы k найдем из уравнения kh = dU(h)/dh = 2ρSgh. То есть k = 2ρSg.
Масса системы m = πRSρ.
Частота малых колебаний равна √(k/m) = √[(2ρSg)/(πRSρ)] = √[(2g)/(πR)]. Собственно, это циклическая (угловая, круговая) частота, то есть 2π/(период колебаний).