Можно ли иметь при себе копию свидетельства о регистрации ТС?

Кинь в бардачок и забудь

Возить можно копии, но предъявлять инспектору только оригинал.

Можешь и копию с собой возить. Мало ли прихватит по дороге, так будет чем подтереться.
А ИДПС кроме оригинала больше ничего не интересует.

в машине оставляйте

Интересно, как ты управляешь авто, если у тебя не хватило сил даже первую главу ПДД усвоить?

Ездил и без прав, инспекторы пробивали по базе по паспорту, утверждали что я не лишён прав и отпускали.

В электронке сделай

будет отсутствием документа предусмотренных пунктом 2.1.1

1. Управление транспортным средством водителем, не имеющим при себе регистрационных документов на транспортное средство, а в установленных случаях документов, предусмотренных таможенным законодательством Таможенного союза, с отметками таможенных органов, подтверждающими временный ввоз транспортного средства, -

влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере пятисот рублей.

Это нарушение. Если у гаишников будет очень хорошее настроение, то могут пробить по базе и отпустить. А могут и нет. Лучше не надо. Оригинал документа должен быть с собой.