Если работник уволился, но наследующий день взял больничный лист, нужно ли заполнять графу с названием организации?

кто сказал?

нужно, конечно. бывший же работодатель будет этот больничный оплачивать

Да. Правильно. Только работодатель оплачивает 2 или 3 дня далее оплачивает соц страх. Но получать деньги за больничный лист в бывшей организации

Заполнять, а работник должен предоставить трудовую книжку, подтверждающую, что он ещё не устроился на новое место работы.