Задача про муравья)
Имеется круг окружностью 1м, если предположить что муравей хочет пройти этот круг двигаясь со скоростью 1см/сек, т. е полный круг он пройдет за 100сек, но если длину окружности увеличивать на 1 метр каждую сек при старте муравья, т. е секунда - на метр больше окружность бесконечно увеличивая длину окружности, сможет ли муравей пройти весь круг?) И почему ?)
P.s если не брать в счёт жизненный цикл, т. е предположим муравей вечный )
а, не, норм.
пусть окружность увеличивается равномерно - просто растёт радиус.
в начале пути у муравья был угол 0 и угловая скорость 0.01 * (2п)
через секунду: угол 0.01 / (2п) и угловая скорость (0.01/2) * (2п)
через две секунды: угол 0.01 * (2п) + (0.01/2) * (2п) и угловая скорость (0.01/3) * (2п)
и т. д.
получаем ряд:
0.01*(2п) + (0.01/2) * (2п) + (0.01/3) * (2п) + .= 0.01*(2п) (1 + 1/2 + 1/3 + .)
этот ряд расходится, так что муравей справится.
Какие трудности? Муравей пересечет круг за время t = 100пи/(пи-1). Это примерно 146,73 сек.
Пусть w(t) - угловая скорость, в оборотах/сек, x(t) - сколько оборотов прополз муравей за время t.
w(t) = 0.01*(1/(1 + t))
x(t) = 0.01*ln(t + 1) + 0
Время прохождения 1 оборота
t = (e^100 - 1) секунд
Муравей сдохнет, но вечный-то проползет весь круг.
Начальная длина окружности С0= 1 м. Скорость роста этой длины V= 1 м/с. Скорость муравья v= 0,01 м/с. Текущая длина окружности в момент времени t равна С= С0+Vt= 1+1*t= 1+t (1). Пусть окружность увеличивается так, что точка старта муравья на координатной плоскости остаётся неизменной. Путь, пройденный муравьём за время t равен S= vt= 0,01t (2). Текущий угол поворота радиус-вектора муравья α= 2πS/С= 0,02πt/(1+t) (3). Чтобы найти время Т, за которое муравей совершит полный оборот, в формуле (3) вместо α подставляем 2π, вместо t - T, и решаем относительно T: T= -2/0,98= - 2,041 с. Отрицательное значение для Т показывает, что муравей никогда не сделает "полный круг".
Кроме того нетрудно сделать вывод, что при тех же условиях, помимо начальной длины окружности, нет для С0 такого значения, чтобы "полный круг" вообще был возможным.
Не сможет