Законно ли ребёнку кататься на квалроцикле по дороге без номеров и могут дпс забрать квадроцикл

Пока ни кто не видит да. А если спалили нет. )

ни ребенку ни взрослому незаконно

Сопляку - по шее, родителю - штраф... Дебилы, млин...

Не законно. Родителям штраф, ребенка на учет, квадрик на арест площадку

Даже на своей огороженной территории родителей ждёт штраф. Ребёнок на технике может кататься под присмотром инструктора. Учебная езда

Ребёнку в принципе нельзя даже с номерами.

На квадроцикл нужны права. То есть законно кататься он не может. Если поймают, то штраф обеспечен. Причём если хозяин квадроцикла признает, что добровольно дал покататься, то будет 12.7 часть 3
Передача управления транспортным средством лицу, заведомо не имеющему права управления транспортным средством (за исключением учебной езды) или лишенному такого права.
Штраф - 30 000 рублей. Если скажет не передавал, то будет угон транспортного средства со всеми вытекающими.
В отношении ребёнка будет применена ст. 12.7 часть 1
Управление транспортным средством водителем, не имеющим права управления транспортным средством (за исключением учебной езды)
Наказание:
административный штраф в размере от пяти тысяч до пятнадцати тысяч рублей и обязательное задержание ТС на штрафстоянку. Отпустить без штрафстоянки не могут, т. к. у него нету прав и ехать дальше ему ну никак нельзя.
Итого: штраф от 35 до 45 т. р и штрафстоянка.