По поводу диффузионного перемещения молекул
Вывод формулы среднего диффузионного перемещения газовой молекулы в "Факультативном курсе физики", 9 кл., 1986 г. (авторы: О. Ф. Кабардин, С. И. Кабардина, Н. И. Шефер) изложен так:
"Для удобства будем считать, что движение молекулы происходит в плоскости хОу (от этого суть вопроса не меняется). Пусть в начальный момент молекула находится в точке О, через N столкновений - в точке М (х; у). Модуль вектора перемещения s= √(x^2+y^2), где x и y находятся сложением соответствующих изменений координат между столкновениями: x= Δx1+Δx2+...+ΔxN, y= Δy1+Δy2+...+ΔyN. Отсюда:
s= √[(Δx1^2+Δy1^2)+...+(ΔxN^2+ΔyN^2)+2Δx1Δx2+...+2Δy1Δy2+...] (1).
Так как изменения координат молекулы происходят с одинаковой вероятностью как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, то смешанные произведения 2ΔxiΔxk и ΔyiΔyk будут одинаково часто встречаться со знаками "плюс"и "минус". Поэтому при достаточно большом значении N их сумму можно считать равной нулю. Поскольку Δxi^2+Δyi^2= si^2, а si в среднем равно средней длине свободного пробега λ, (1) приобретает вид:
s= √(s1^2+s2^2+...+sN^2)= √(Nλ^2)= √N*λ..."
Здесь возникает недоумение. Возьмём два столкновения молекул: пусть на первом координаты, например, убывают, а во втором растут. Для х будем иметь: х= -|Δх1|+Δх2, х^2= Δх1^2+Δх2^2-2|Δх1|Δх2. Как видно, получилось одно смешанное произведение - отрицательное. Положительного нет. То же самое будем иметь и для координат у. Нетрудно убедиться, подобный результат получим, если число столкновений примем 4 (два с "плюсом", два с "минусом") отрицательных смешанных произведений окажется четыре, а положительных - два. То есть будто утверждение авторов о равенстве чисел смешанных произведений неверное.
В чём же дело?
С одной стороны выведенная для s формула верна, что подтверждается наблюдениями. И это возможно лишь при равенстве смешанных произведений с разными знаками. С другой стороны изменения координат молекулы действительно происходят с одинаковой вероятностью как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения. Но в этом случае число смешанных произведений с отрицательным знаком оказывается больше таковых с положительным знаком с тем, чтобы компенсировать квадраты Δx1^2, Δy1^2,...ΔxN^2, ΔyN^2 - и общая сумма получается равной нулю! Весь вопрос заключается в разрешении этого парадокса.
Когда много столкновений, то их распределение подчиняется биномиальному распределению.
Больше всего будет таких траекторий, где равномерно намешаны все типы столкновений. А меньше всего таких траекторий, где только один тип столкновений.