Цилиндрический сосуд площадью поперечного сечения полости F заполнен до некоторого уровня, принимаемого за нулевой,...
...жидкостью с плотностью ρж. Цилиндрическое тело площадью поперечного сечения f, высотой h и равномерной плотностью ρт (ρт < ρж) вначале держим так, что его нижнее основание касается поверхности жидкости. Затем тело отпускаем. Подразумевается: а) сопротивление жидкости отсутствует, силами поверхностного натяжения пренебрегаем; б) продольная ось тела всё время сохраняет своё вертикальное положение; в) при погружении тело никогда не достигает дна сосуда. Определить:
1) Максимальную глубину h1 погружения тела, измеряемую от нулевого уровня;
2) Глубину h2 погружения (тоже измеряемую от нулевого уровня), которая установится, если в некоторый момент времени "восстановится" сопротивление жидкости.
Мои ОТВЕТЫ: 1) h1= 2k'(1-k")h; 2) h2= h1/2. Здесь k'= ρт/ρж, k"= f/F.
Уже можно "не опасаться" - той досадной ошибки, которую я допустил в позапрошлом вопросе, здесь нет: всё перепроверено. Например, мой ответ на п. 2) h2= h1/2= k'(1-k")h полностью совпадает с ответом Н. Чайковского на вопрос https://otvet.mail.ru/question/215633142 , ибо там Рплтн= k'= ρт/ρж, Рсчн= k"= f/F.
Решение Н. Чайковского - верное - основано на 2-м законе Ньютона, законе Архимеда и "балансе объёма" жидкости. В моём решении первое из них заменено законом сохранения энергии: разность потенциальных энергий в начале и конце погружения равна работе архимедовой силы, которая прямолинейно изменяется (как и у Чайковского) от нуля до максимального значения.
Можно предложить и ещё одно "решение" - в кавычках потому, что оно чисто словесное и потому может казаться рискованным. Хотя не нахожу изьяна в его логичности.
Согласно условиям сопротивление жидкости отсутствует; поэтому тело будет "вечно" колебаться между верхним - когда его нижнее основание касается поверхности жидкости (погружение равно нулю), - и нижним - при погружении на величину h1 - положениями. Среднее положение между этими амплитудными соответствует глубине h1/2. С другой стороны очевидно, что после возникновения сопротивления жидкости тело будет успокаиваться именно в данной глубине; т. е. h2= h1/2. Но h1 уже найдено в предыдущей задаче...
1) Ускорение тела линейно зависит от глубины х погружения
a=g+cx
при х=h*k' сила тяжести тела в воздухе и выталкивающая сила сравняются, и ускорение станет равным нулю. Т. о., 0=g+c*h*k' ---> c=-g/(h*k')
a=dv/dt=g-g*x/(h*k')
v*dv=g*dx-g*x*dx((h*k')
v=g*(x-x^2/(2h*k'))+C: при х=0 начальная скорость равна нулю, следовательно, С=0.
v=g*x*(1-x/(2h*k')).
Скорость погружения равна нулю в начальный момент и когда тело достигнет максимальной глубины x=h'1 относительно поверхности воды
(1-h'1/(2h*k')=0 -->h'1= 2h*k'
Объем жидкости. вытесненной телом из-под нулевого уровня
h1*f=(h'1-h1)*(F-f), откуда
h1*(f+F-f)=2h*k'*(F-f)
h1=2h*k'(F-f)/F=2h*k'*(1-k")
2) Намедни уже отвечал))