Делопроизводство: Если в приёмную принесли заявление 10-дневной давности, можно ли его регистрировать?

можно, но только текущей датой.

Нужно его регистрировать. И странно, что сам заявитель не просит номер входящий.

зарегиструйте его датой когда он вам его принес, а не датой заявления или попросите переписать и сообщите, что задним числом вы ничего оформлять не будете

Регистрируйте его датой, которая наступит через месяц. Чтобы всех окончательно запутать.