Найдите наибольшее значения выражения 2x^2 − 5xy + 2y^2
Действительные числа x и y таковы что x^2 + xy + y^2 = 3. Найдите наибольшее значения выражения 2x^2 − 5xy + 2y^2
Из уравнения x^2 + xy + y^2 = 3 выражаем ху и подставляем в функцию z=2x^2 − 5xy + 2y^2, получаем
z=7(x^2+y^2)-15.
Далее, x^2 + xy + y^2 = 3 - это уравнение эллипса с осями симметрии y=x и y=-x.
Наибольшее расстояние точек эллипса от начала координат будет при его пересечении с осью у=-х, при этом x^2=y^2=3, и квадрат расстояния равен 6.
Значит, наибольшее значение z равно 7*6-15=27.
Надо найти наибольшее значение параметра а, при котором система
{ x^2 + xy + y^2 = 3,
{ 2x^2 − 5xy + 2y^2 =a
имеет решение.
Система имеет решение при а є [-1; 27], наибольшее а=27.
Ответ. z(x,y)=2*x^2−5*x*y+2*y^2; dz(x,y)/dx=4*x-5*y; dz(x,y)/dy=-5*x+4*y; y=0.8*x;-5*x+3,2*x=0; x=0; y=9; d2z(x,y)/dx^2=4 (min); d2z(x,y)/dy^2=4 (min);
Пусть xy <0. Тогда можно считать, что x>0, t=-y>0.
Имеем равенство x^2 - tx + t^2 = 3 (1).
Т. к. x^2 + t^2 ≥ 2tx, то из (1) tx ≤ 3
F=2(x^2 -tx + t^2) +7tx =6+7tx ≤ 6+7*3=27.
Равенство достигается при t=x=3^(1/2), y= -3^(1/2).
В силу симметрии точкой максимума будет также x= -3^(1/2), y= 3^(1/2).
