Что такое ось симметрии

Объяснялка выше для евклидовой геометрии неверна, хоть и взята из Вики.

В евклидовой геометрии осевая симметрия - это симметрия относительно прямой (в E^3 не путать с вращательной на всевозможные углы). т. е. преобразование евклидовой плоскости или пространства, которое:
1) Является движением;
2) Является инволюцией (т. е. его групповой порядок равен 2 - оно отлично от id, но его квадрат равен id)
3) Множество его неподвижных точек является прямой (называемой осью симметрии).

В трехмерном случае симметрия относительно прямой зеркальным отражением никак не является, она совпадает с поворотом на пи отн. указанной прямой - т. е. заведомо лежит в той же компоненте связности группы движений, что и id (ориентацию не меняет; зеркальная же обычно ориентацию меняет вне зависимости от размерности, хоть этот термин и не строг).

Группа симметрий шахматной доски в E^3 является точечной (если написанные буквы не рассматривать) и содержит осевую симметрию - относительно прямой, перпендикулярной доске и проходящей через ее центр. В E^2 доска симметрична отн. диагоналей, так что по-любасу она симметрична относительно какой-то прямой, на размерность плевать.