Любители квантовой физики, объясните принцип неопределённости.

1) Возьмем парочку векторов состояний:
a, b
и некоторую комплексную чиселку:
z = r exp(iф)
и рассмотрим скалярный квадрат:
(a + zb, a + zb) = (a, a) + z* (a, b) + z (b, a) + z z* (b, b) =
= r^2 (b, b) + 2 r cos(ф) (a, b) + (a, a) >= 0
Выберем ф таким, чтобы:
cos(ф) (a, b) = |(a, b)|
Посмотрим теперь на полученное неравенство как на квадратичное неравенство для r. Оно говорит нам о том, что уравнение:
r^2 (b, b) + 2 r |(a, b)| + (a, a)
имеет мксимум один корень. Поэтому дискриминант неположительный:
D = 4 |(a, b)|^2 - 4 (a, a) (b, b) <= 0
Или:
(a, a) (b, b) >= |(a, b)|^2
Это неравнство Коши-Буняковского.
2) Снова возьмем вектор состояний:
a
И два оператора:
A, B
Для векторов Aa и Ba запишем неравенство Коши-Буняковского:
(Aa, Aa) (Ba, Ba) >= |(Aa, Ba)|^2
Далее рассмотрим комплексное число:
(Aa, Ba) = Re(Aa, Ba) + i Jm(Aa, Ba)
Комплексно сопряжем его:
(Ba, Aa) = (Aa, Ba)* = Re(Aa, Ba) - i Jm(Aa, Ba)
Вычтем два полседних равенства друг из друга:
(Aa, Ba) - (Ba, Aa) = 2 i Jm(Aa, Ba)
или:
Jm(Aa, Ba) = {(Aa, Ba) - (Ba, Aa)} / (2 i)
Воспользовавшись эрмитовостью операторов A, B можем написать:
Jm(Aa, Ba) = {(a, ABa) - (a, BAa)} / (2 i) = (a, {A*B - B*A} a) / (2 i)
Запишем очевидное неравенство:
|(Aa, Ba)|^2 >= [Jm(Aa, Ba)]^2 = (1 / 4) (a, {A*B - B*A} a)^2
Тогда, с учетом неравенства Коши-Буняковского получаем:
(Aa, Aa) (Ba, Ba) >= (1 / 4) (a, {A*B - B*A} a)^2
Это неравенство Робертсона-Шредингера:
3) Последний рывок. В качестве рассмотренных ранее операторов возьмем:
A = X - X0
B = Y - Y0
где X, Y - операторы каких-нибудь наблюдаемых, X0, Y0 - их средние. Подставим их в неравенство Робертсона-Шредингера и преобразуем (сразу буду пользоваться эрмитовостью):
(Aa, Aa) = ([X - X0]a, [X - X0]a) = (a, [X - X0]^2 a) = Δx^2
(Ba, Ba) = ([Y - Y0]a, [Y - Y0]a) = (a, [Y - Y0]^2 a) = Δy^2
A*B - B*A = [X - X0] [Y - Y0] - [Y - Y0] [X - X0] = XY - YX
Тогда неравенство примет вид:
(Δx Δy)^2 >= (1 / 4) |(a, [XY - YX]a)|^2
Или:
Δx Δy >= (1 / 2 )|(a, [XY - YX]a)|
Получили соотношение неопределенности Гейзенберга.
Означает оно следующее: если операторы двух наблюдаемых не коммутируют, то эти операторы не имеют общей системы собственных состояний. А значит, если система находится в собственном состоянии оператора X (тогда величина X точно известна), то это состояние не является собственным для оператора Y (то есть величина Y не определена, и при ее измерении возможно одно из нескольких значений). Это означает, что наблюдаемые X, Y неизмеримы одновременно. А полученное неравенство означает, что чем меньше неопределенность одной из величин, тем больше неопределенность другой.