Доказать, что заданное бинарное отношение r является отношением эквиваентности.
Найти фактор-множество множества А по отношению эквивалентности r: А/r (описать классы эквивалентности).
10)p={(a,b)|(a-b) кратно 3}, A={x принадлежат Z, x на промежутке от -6 до 8 включая -6 и 8}
r= { (a,b)|(a-b) кратно 3 }
Итак, на множестве Z×Z задано подмножество r⊂Z×Z. Надо показать, что на множестве Z - это отношение эквивалентности. В самом деле, a~a, так как а - а = 0 делится на 3. Если теперь a~b => a - b делится на 3, то и -(a - b) = b - a делится на 3, то есть b~a. Наконец, если a ~ b и b ~ c, то a~c, так как a - c = (a - b) + (b - c) - каждое слагаемое делится на 3. Итак, - это отношение эквивалентности. Ясно, что на любом подмножестве множества Z - это также будет отношением эквивалентности. Классы эквивалентности состоят из чисел, дающих при делении на 3 одинаковые остатки. Таким образом, множество А распадается на классы, объединенные в фактор-множество
A/r ={-6, -3, 0, 3, 6}U{-5, -2, 1, 4, 7}U{-4, -1, 2, 5, 8}. Ну, вот и всё!)
В фигурных скобках указаны классы эквивалентности: класс чисел из А, делящихся на 3, потом - дающих при делении на 3 остаток 1, и затем - остаток 2.