Ответы Mail.ru
Образование
ВУЗы, Колледжи
Детские сады
Школы
Дополнительное образование
Образование за рубежом
Прочее образование
Лидеры категории
Лена-пена
М.И.
Y.Nine
•••
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Линейная алгебра. Задача на доказательство
SalotSar
(297),
на голосовании
1 год назад
Пусть А - нормальный оператор в евклидовом пространстве V и f(x) ∈ R[x]. Доказать, что ядро ker f(A) инвариантно A*.
Голосование за лучший ответ
Павля Кантелли
(14568)
1 год назад
Если А перестановочен с А*, то и А^n для целого n, и стало быть f(A) тоже.
Это очевидно следует из
А^n A* = A^(n-1) A* A = ... = A* A^n --- протаскивание А* влево по одной позиции . Ну а для суммы совсем очевидно.
Далее, если х лежит в ker f(A), то f(A)(x) = 0. Поэтому действие на это ещё и А* сохранит 0:
А* f(A)(x) = 0.
А в силу сказанного выше
f(A) (A* x) = 0,
т.е. А* х тоже лежит в ker f(A).
Это очевидно следует из
А^n A* = A^(n-1) A* A = ... = A* A^n --- протаскивание А* влево по одной позиции . Ну а для суммы совсем очевидно.
Далее, если х лежит в ker f(A), то f(A)(x) = 0. Поэтому действие на это ещё и А* сохранит 0:
А* f(A)(x) = 0.
А в силу сказанного выше
f(A) (A* x) = 0,
т.е. А* х тоже лежит в ker f(A).
Похожие вопросы