К какому врачу надо обращаться по поводу пирсинга?

К своему мастеру, если он и не занимается этим вопросом, то должен посоветовать специалиста. А так, можно придти к участковому врачу - он точно скажет к кому идти.

К терапевту, может задели ... Надо снять и продезинфицировать.

Нос лечит лор, а воспаления хирург. Так начни с лора

Да к любому пока все не особо серьезно. Но так-то к ЛОРу

Прокол должен был давно зажить, либо он все эти месяцы вместо того чтобы заживать вяло подгнивал, либо зажил, а потом имела место какая-то травма и присоединилась инфекция.

Если не заживал, то стоит сходить к мастеру разобраться в чем причина (она чаще всего банально в некорректной обработке дома). Либо бросай это дело и вытаскивай украшение -- прокол зарастет, мб потом когда-нибудь еще попробуешь.

Со вторым вариантом можно тоже проконсультироваться у своего мастера.

В любом случае когда все не запущено достаточно пару недель понаносить после обработки антибиотик для наружного применения -- мазь/крем. Левомицетин какой, Супироцин, а лучше всего Банеоцин. Читай аннотациию

Обычно ходят к своему мастеру, и он, если является грамотным, проконсультирует. Потому что врачи, если к ним идти, в большинстве случаев просто попросят снять украшение и чем-нибудь побрызгать, помазать. А так, с проколами могут возникать различные артифакты при простуде и гриппе, женских днях, других воздействиях на организм. Просто сходите к мастеру, он всё скажет.