Кто занимается попиской и выпиской граждан? Какая структура, ведомство или что там...

Никто. Так как уже давно нет тагого действа.

Есть регистрация и ею занимается только УФМС РФ
Положение о Федеральной миграционной службе

Указ Президента Российской Федерации от 19 июля 2004г. №928 "Вопросы Федеральной миграционной службы"

Общие положения
1. Федеральная миграционная служба (ФМС России) является федеральным органом исполнительной власти, реализующим государственную политику в сфере миграции и осуществляющим правоприменительные функции, функции по контролю, надзору и оказанию государственных услуг в сфере миграции.

ФМС России подведомственно Министерству внутренних дел Российской Федерации.

2. Основными задачами ФМС России являются:

1) реализация общей стратегии государственной политики в установленной сфере деятельности;

1.1) совершенствование нормативно-правового регулирования в установленной сфере деятельности;

1.2) производство по делам о гражданстве Российской Федерации, оформление и выдача основных документов, удостоверяющих личность гражданина Российской Федерации;

2) осуществление регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и контроля за соблюдением гражданами и должностными лицами правил регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации;

3) оформление и выдача иностранным гражданам и лицам без гражданства документов для въезда в Российскую Федерацию, проживания и временного пребывания в Российской Федерации;

4) осуществление контроля за соблюдением иностранными гражданами и лицами без гражданства установленных правил проживания и временного пребывания в Российской Федерации;

4.1) осуществление миграционного учета иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации;

5) разработка и реализация во взаимодействии с иными государственными органами мер по предупреждению и пресечению незаконной миграции;

6) исполнение законодательства Российской Федерации по вопросам беженцев и вынужденных переселенцев, участие в установленном порядке в предоставлении политического убежища иностранным гражданам и лицам без гражданства;

7) осуществление в соответствии с законодательством Российской Федерации контроля и надзора в сфере внешней трудовой миграции, привлечения иностранных работников в Российскую Федерацию и трудоустройства граждан Российской Федерации за пределами Российской Федерации;

8) управление территориальными органами ФМС России, ее загранаппаратом, а также иными организациями и подразделениями, созданными для решения возложенных на ФМС России задач.

3. ФМС России в своей деятельности руководствуется Конституцией Российской Федерации, федеральными конституционными законами, федеральными законами, актами Президента Российской Федерации и Правительства Российской Федерации, международными договорами Российской Федерации, актами Министерства внутренних дел Российской Федерации по вопросам координации и контроля деятельности ФМС России, а также настоящим Положением.

4. ФМС России осуществляет свою деятельность непосредственно и (или) через свои территориальные органы, загранаппарат, а также иные входящие в ее систему организации и подразделения.

5. ФМС России осуществляет свою деятельность во взаимодействии с другими федеральными органами исполнительной власти, органами исполнительной власти субъектов Российской Федерации, органами местного самоуправления, общественными объединениями и иными организациями.