Заявление об уходе и сразу больничный

Проще было бы сначала уйти на больничны и сразу же уволиться.

Нет

Будешь ещё пожизненно "отрабатывать", пока не поймёшь, что нет отработки.

Никакой отработки не существует.
Уведомил, подошёл срок, уволился.

Один день минимум если не материально оьветственный

Слово "отработка" в приличном обществе не употребляйте - побьют
Вы можете подать заявление об увольнении, и заболеть
При этом срок листка нетрудоспособности может превышать две недели. Оплатят весь срок нетрудоспособности.
А уволены будете по истечении 2х недель, как подали заявление
Добрый совет
Как не показывать свою глупость - я указала в начале ответа
Как не быть моральным уродом - будете увольняться, вашим коллегам после разгребать ваши дела. Вы не работодателю проблемы создаете, а коллегам. Поэтому - знаете, что увольняетесь - передайте свои дела с вашими пояснениями своим коллегам или начальнику. Чтобы им после не тратить свое время и нервы, не разбираться, что у вас было сделано, что нет, и как ваши работы продолжить дальше
А не просто - исчезнуть, а дальше хоть трава не расти