Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox
Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox части кривой y^2 =
= 4x, отсеченной прямой x = 3. Сделать чертёж
Такая задачка на физкультуре! Надо найти площадь поверхности, которую получишь, если взять кривую y^2 = 4x, отрезать её по прямой x = 3 и повертеть остаток вокруг оси Ox. Ну, типа как кто-то крутит бублик вокруг своей оси, только тут кривая крутится. Надо ещё нарисовать чертеж, чтобы понимать, какой остаток крутим.
Вычислим интеграл S = 2π ∫[0,3] (2 * sqrt(x)) * sqrt(1 + (1 / sqrt(x))^2) dx.
Сначала вычислим выражение под корнем: 1 + (1 / sqrt(x))^2 = 1 + 1 / x. Теперь вычислим интеграл: ∫[0,3] (2 * sqrt(x)) * sqrt(1 + 1 / x) dx = ∫[0,3] 2 * sqrt(x) * sqrt((x + 1) / x) dx = ∫[0,3] 2 * sqrt(x + 1) dx.
Теперь вычислим этот интеграл: ∫[0,3] 2 * sqrt(x + 1) dx = (4/3) * (x + 1)^(3/2) |[0,3] = (4/3) * ((3 + 1)^(3/2) - (0 + 1)^(3/2)) = (32/3) - (4/3) = 28/3.
Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением кривой y^2 = 4x вокруг оси Ox от 0 до x = 3 равна S = 2π * (28/3) ≈ **58.9**.