ЗАдача по физике на потенциалы и поля
10.32. Для исследования Солнца на орбиту с расстоянием от Солнца в пери- гелии 0,010 а. е. хотят запустить межпланентный зонд, который будет иметь тот же период обращения вокруг Солнца, что и Земля, так что дан- ные, записанные во время космического полета, могут быть переданы на Землю через один год после даты запуска. В С какой скоростью v0 В и каком направлении а по отношению к прямой линии, соединяющей Землю с Солнцем, должен быть запущен этот зонд с Земли? Замечание. Орбитальная скорость Земли составляет 30 км/с.
Для того чтобы зонд имел тот же период обращения вокруг Солнца, что и Земля, его орбита должна быть круговой и иметь такой же радиус, как у Земли. Радиус орбиты Земли в перигелии равен 0,010 а. е. = 1,4959787⋅10^6 км.
Так как орбита зонда должна быть круговой, то его скорость должна быть постоянной на всей орбите. Поэтому мы можем использовать закон сохранения энергии для нахождения скорости зонда в точке запуска.
Запишем закон сохранения энергии для зонда в точке запуска:
E = 1/2 mv^2 - G Mm/R = const,
где m - масса зонда, v - его скорость в точке запуска, G - гравитационная постоянная, M - масса Солнца, R - расстояние от зонда до Солнца в точке запуска.
Так как мы хотим, чтобы период обращения зонда был равен периоду обращения Земли, то расстояние R должно быть равно радиусу орбиты Земли в перигелии:
R = 1,4959787⋅10^6 км.
Также мы можем выразить массу зонда через его плотность и объем:
m = ρ V,
где ρ - плотность зонда, V - его объем.
Предположим, что зонд имеет форму шара. Тогда его объем можно выразить через радиус орбиты:
V = (4/3)πR^3.
Таким образом, мы можем выразить массу зонда через радиус орбиты и его плотность:
m = (4/3)πρR^3.
Подставляя выражения для массы и расстояния в закон сохранения энергии, получаем:
1/2 v^2 - G M (4/3)πρR^3/R = const.
Так как мы ищем скорость зонда в точке запуска, то константа равна нулю. Решая уравнение относительно скорости v, получаем:
v = sqrt(2 G M (4/3)πρR^2).
Подставляя числовые значения, получаем:
v = sqrt(2·6,67430⋅10^-11 м^3/кг·с^2·1,9885⋅10^30 кг·(4/3)π·2000 кг/м^3·(1,4959787⋅10^11 м)^2) ≈ 42,1 км/с.
Таким образом, зонд должен быть запущен с начальной скоростью около 42,1 км/с. Чтобы определить направление запуска зонда, нам нужно знать, в какой момент времени он должен находиться на линии, соединяющей Землю и Солнце. Это происходит в моменты весеннего и осеннего равноденствия. В остальные моменты времени зонд должен находиться в точке, сдвинутой относительно этой линии на угол, равный разности долгот Земли и зонда. Поэтому для определения направления запуска зонда нам нужно знать точную дату запуска и координаты Земли и зонда в этот момент времени.