Помогите решить дифференциальное уравнение.С пояснением.
2хуу'=х²+у²
Можно так
y^2 = u => u' = 2yy'
xu' = x^2 + u
Это линейное неоднородное уравнение, порядок у него первый, поэтому не страшно, что оно не с постоянными коэффициентами - такие уравнения вас должны были учить
Справитесь дальше?
Хотя, конечно, еще одна замена видна, если производную частного вспомнить, v = u/x. Но можно об этом и не дупать, а руку на диффурах пераого порядка набить:
Для решения данного дифференциального уравнения необходимо воспользоваться методом разделения переменных.
Выражаем уравнение в виде:
2xu du/dx = x^2 + u^2
Далее разделяем переменные, перемещая все слагаемые с u в левую часть уравнения, а с x в правую:
2u du / (u^2 + 2x^2 dx) = dx / x
Теперь проинтегрируем обе части уравнения.
∫ 2u du / (u^2 + 2x^2) = ∫ dx / x
Левую часть можем выразить через логарифм, а правую через интеграл от единицы:
ln|u^2 + 2x^2| = ln|x| + C
где С - постоянная интегрирования.
Теперь выразим u:
u^2 + 2x^2 = Cx^2
u^2 = Cx^2 - 2x^2
u^2 = x^2(C - 2)
u = ± x√(C - 2)
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
u = ± x√(C - 2)
где С - произвольная постоянная.