Периметр четырёхугольника. Касательная к окружности.

42

Поскольку прямая AB параллельна стороне LM и проходит через центр O вписанной окружности, эта прямая является касательной к окружности. Таким образом, точка касания - это точка, где сторона AO пересекает прямую AB. Обозначим эту точку как T. Тогда, треугольник AOT является прямоугольным треугольником.

Определим переменные:
S_ABML - площадь четырехугольника ABML
S_KLM - площадь треугольника KLM
P_ABML - периметр четырехугольника ABML
P_KLM - периметр треугольника KLM
P_AKB - периметр треугольника AKB

Из условий задачи мы знаем следующее:
1. S_ABML = (7/16) * S_KLM
2. P_KLM - P_AKB = 24

Поскольку четырехугольник ABML состоит из треугольников ATL, LTB и AKB, мы можем найти площадь четырехугольника ABML, вычитая площади треугольников ATL и LTB из площади треугольника AKB:
S_ABML = S_AKB - S_ATL - S_LTB

Найдем площади треугольников ATL и LTB через радиус вписанной окружности r и полупериметры треугольников KAT, KBL:
S_ATL = r * (P_KLM - P_AKB)/2
S_LTB = r * (P_KLM - P_AKB)/2

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника ABML:
S_ABML = S_AKB - r * (P_KLM - P_AKB)

Используя первое уравнение, получим:
(7/16) * S_KLM = S_AKB - r * (P_KLM - P_AKB)

Теперь мы можем выразить S_AKB через S_KLM и r:
S_AKB = (7/16) * S_KLM + r * (P_KLM - P_AKB)

Таким образом, мы можем выразить P_ABML через P_KLM и P_AKB:
P_ABML = P_KLM - P_AKB

Теперь, используя второе уравнение:
P_ABML = 24

Таким образом, периметр четырехугольника ABML равен 24.

78