Геометрия 8 класс пожалуйста!
В треугольнике ABC угол A равен 60∘ . На лучах BA и CA отложены отрезки BX и CY , равные стороне BC . Докажите, что прямая XY проходит через точку пересечения биссектрис треугольника ABC .
Дополненвот чертеж
На problems.ru есть решение задачи
Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Тогда равнобедренный треугольник BCX симметричен относительно прямой BI, а равнобедренный треугольник BCY симметричен относительно прямой CI. Поэтому ∠BIX = ∠BIC = 120°. Аналогично ∠YIC = 120°. Но и
∠XIC = 360° – ∠BIX – ∠BIC = 120°.
Следовательно, точки I, X и Y лежат на одной прямой.
Только мне непонятно откуда 120 градусов получилось
Так как по условию угол А =60, то в треугольнике АВС сумма углов В и С равна 120. Тогда сумма углов В/2 и С/2 равна 60. Из треугольника ВIС угол ВIС равен 120( по теореме о сумме углов треугольника)
Доказательство: Пусть M и N - точки пересечения прямых XY с биссектрисами углов B и C соответственно. Нам нужно объяснить, что точка M лежит на биссектрисе угла A, а точка N - на биссектрисе угла A.
Рассмотрим треугольники BXM и CXN.
В треугольнике BXM угол BXM равен углу BAC, так как они соответственные углы при угловых углах.
В треугольнике CXN угол CXN равный углу CBA, также из-за соответствующих углов при угловых углах.
Угол BXM равный углу CXN, так как они оба уровня угла BAC.
Таким образом, по игре об поворотах при прямых прямых, прямая XY параллельная сторона BC.
Поэтому отрезки BX и CY пропорции BC, так как они по обе стороны сторон прямоугольных треугольников.
Значит, точки M и N лежат на биссектрисах углов B и C соответственно.
Таким образом, прямая XY проходит через точку пересечения биссектриса треугольника ABC.
Таким образом, установлено, что прямая XY проходит через точку пересечения биссектриса треугольника ABC.
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами биссектрис треугольника.
Пусть точка D - точка пересечения биссектрис угла B и биссектрис угла C.
Так как BX и CY равны стороне BC, то треугольники BXC и CYB являются равнобедренными.
Также, углы BXC и CYB равны, так как они соответственно являются внутренними углами треугольников BXC и CYB.
Таким образом, треугольники BXC и CYB равны по двум сторонам и углу, поэтому они подобны.
Из подобия треугольников BXC и CYB следует, что угол BCX равен углу BCY.
Так как угол A равен 60∘, то угол BAC равен 180∘ - 60∘ = 120∘.
Также, угол BAC равен сумме углов BCX и BCY, так как прямая XY является прямой, проходящей через точки B и C.
Таким образом, углы BCX и BCY в сумме дают 120∘.
Так как угол BCX равен углу BCY, то каждый из этих углов равен 60∘/2 = 30∘.
Таким образом, угол BCX равен углу BCY равен 30∘.
Так как угол BCX равен углу BCY, а угол BAC равен углу BCX + BCY, то угол BAC равен 30∘ + 30∘ = 60∘.
Таким образом, прямая XY проходит через точку пересечения биссектрис треугольника ABC, что и требовалось доказать.
Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему о пересечении биссектрисы угла и прямой, проходящей через его вершину.
Рассмотрим треугольник ABC. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Тогда по теореме о пересечении биссектрисы и прямой мы знаем, что отрезок BM является средней линией треугольника ABC.
Также по условию задачи мы знаем, что отрезки BX и CY равны стороне BC. Значит, они также являются средними линиями треугольника ABC, так как они проходят через точку M, которая является серединой стороны BC.
Теперь рассмотрим треугольник BXM и треугольник CMY. Они оба являются прямоугольными треугольниками, так как XM и YM являются гипотенузами. Кроме того, мы знаем, что BM и CM являются катетами этих треугольников, а также равны между собой.
Из этого следует, что треугольники BXM и CMY подобны, а так как их катеты равны, то они равны между собой по двум сторонам и углу между ними.
Таким образом, мы получили, что треугольник BXM равен треугольнику CMY по двум сторонам и углу между ними, а значит, угол XBM равен углу CMY.
Кроме того, так как прямая BM проходит через точку M, которую мы знаем как точку пересечения биссектрисы угла A и прямой, проходящей через вершину B, то это значит, что точка X также лежит на биссектрисе угла A.
Аналогично, мы можем показать, что точка Y также лежит на биссектрисе угла A, так как она также равна треугольнику BCY по двум сторонам и углу между ними и угол CYM равен углу ACB.
Итак, мы доказали, что прямая XY проходит через точку пересечения биссектрис угла A и, следовательно, через точку пересечения прямых BM и BC, которая также является точкой пересечения биссектрис углов B и C.