Докажите что медиана поямоугольного треугольника проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузе?

Пусть СМ - медиана прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С.
Продлим СМ за точку М и отметим на луче СМ точку К так, что СМ = МК. Соединим точки ВК и КА.
Треугольники ВКМ и АСМ равны по углу и двум сторонам. Значит, углы ВКМ и АСМ равны (накрест лежащие), тогда ВК параллельна АС и ВК = АС, АКВС - параллелограмм, причем угол С в нем - прямой.

Мы получили прямоугольник АКВС.
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.
Значит, CM=AM=BM=AB/2.