Будет ли нагреваться батарея на даче, от бака с водой, установленного на печи?

если выше, то не будет. если ниже - то будет

Она у тебя в батарее встанет и остынет.Это тебе надо маленькую помпу ставить,чтоб гонять воду.

Какая сложная конструкция.
Тебе это точно-нужен такой геморрой?

Или ставить насос, или бак с горячей водой- ставить под потолок/, создавая этим ДАВЛЕНИЕ и циркуляцию.

И печь будешь топить круглосуточно?

Айболит прав на 100%.
Чтобы была циркуляция в радиаторе, нужно источник горячей воды для него располагать ниже, чтобы остывающая в радиаторе вода стекала вниз и выталкивала в радиатор более горячую.
Но есть один вариант, дающий циркуляцию при печке, не утопленной в подвал или приямок. Нужно сделать теплообменник не сверху печи, а максимально близко к полу, потом оттуда поднять утепленный стояк до потолка с расширительным баком на верхушке, отвести от него горизонтальную часть в сторону окна, под которым радиатор с небольшим уклоном вниз, а потом опустить к радиатору.
Всё элементы, после отвода на горизонт утеплять не нужно.
Именно остывающая труба под потолком и станет насосом для радиатора.
Или делайте кирпичный котёл в подвале, бак размещайте на котле сверху, чтобы обеспечить циркуляцию котлового контура автоматом, а от верхней точки бака стояк тяните вверх, как писано выше…
В этом случае, котёл будет «заряжать» бак теплом быстрее, чем отдавать тепло через радиатор в процессе топки, а по её окончанию, циркуляция в котловой контуре прекратится, а из бака горячая будет продолжать греть радиатор(ы), пока температура всего бака не сравняется с температурой воздуха в комнате с радиатором.
ЕЦ очень хорошая штука, если её один раз сделать правильно и потом полвека и более радоваться результатам)))