Доказать, что ||a|-|b||<=|a-b|<=|a|+|b|. a и b - векторы.
Неравенство треугольника : |x+y| ≤ |x|+|y|
_____________
|a|=|a-b+b| ≤ |a-b|+|b|
|a|-|b| ≤ |a-b|
Аналогично
|b|-|a| ≤ |a-b|
Следовательно,
||a|-|b|| ≤ |a-b|.
|a-b|=|a+(-b)| ≤ |a|+|-b| = |a|+|b|
Доказательство этого неравенства основано на свойствах модуля и нормы вектора.
1. Доказательство неравенства ||a|-|b||<=|a-b|:
Мы знаем, что |a-b| = ||a|-|b||, если a >= b, и |a-b| = ||b|-|a||, если a < b. В обоих случаях, ||a|-|b|| <= |a-b|.
2. Доказательство неравенства |a-b|<=|a|+|b|:
Это неравенство является прямым следствием неравенства треугольника в евклидовом пространстве, которое гласит, что длина любой стороны треугольника меньше или равна сумме длин двух других сторон. Если мы рассмотрим векторы a и b как стороны треугольника, то |a-b| будет длиной третьей стороны, и, следовательно, |a-b| <= |a| + |b|.
Таким образом, оба неравенства доказаны.