Олимпиада по математике. Якласс.
В каждой клетке шахматной доски размера 64×64 записано число, равное количеству клеток, в которые может попасть шахматный конь, если бы он стоял на данной клетке. Чему равна сумма чисел, написанных на доске?
Дополнен1. Заметим, что из угловых клеток шахматный конь может прыгнуть ровно в 2 различные клетки, следовательно, в угловых клетках записано число 2. Таким образом, вклад от угловых клеток равен 2.48.
2. Заметим, что в соседних с угловыми клетках, расположенных на краю доски, записано число 3. Следовательно, вклад от таких клеток в общую сумму даст 3.824.
3. Для остальных клеток, расположенных на краю доски (которых ровно 4. (644) 240 штук) существует ровно 4 способа передвинуть шахматного коня на новую клетку, а значит, в этих клетках записано число 4. Кроме того, в клетках, соседних по диагонали с угловыми, также записано число 4. Отсюда вклад тех клеток, в которых записано число 4, равен 424044 = 976.
4. Для остальных клеток, которые расположены во втором столбце в начале и в конце доски, а также во второй строчке вверху и внизу доски, записано число 6. Таких клеток ровно 240 штук, и вклад от них равен 240 6 = 1440.
5. Из остальных клеток, очевидно, шахматный конь может перейти в новые 8 способами (и это максимально возможное число способов). Поскольку оставшихся клеток ровно (64 – 4)2 = 3600 штук, то сумма чисел, записанных в этих клетках, составляет 83600 = 28800.
6. Суммируя значения, записанные в клетках доски, получим
8+24+976 + 1440 +28800 31248.
Правильный ответ: 31248.
Сумма чисел, написанных на доске, равна 4048.
Это можно вычислить, учитывая, что:
из угловых клеток шахматный конь может прыгнуть ровно в 2 различные клетки, следовательно, в угловых клетках записано число 2;
в соседних с угловыми клетках, расположенных на краю доски, записано число 3;
для остальных клеток, расположенных на краю доски, существует ровно 4 способа передвинуть шахматного коня на новую клетку, а значит, в этих клетках записано число 4;
для остальных клеток, которые расположены во втором столбце в начале и в конце доски, а также во второй строчке вверху и внизу доски, записано число 6;
из остальных клеток шахматный конь может перейти в новые 8 способами, и это максимально возможное число способов.
Таким образом, сумма чисел, записанных на доске, равна 8+24+336+480+3200=4048.