Упростите выражение: (a-2/a+2 - a+2/4-a²):2a/4-a²
Для упрощения данного выражения мы должны сначала объединить дроби в одну:
(a-2/a+2 - a+2/4-a²):2a/4-a² = ((a-2)(4-a²) - (a+2)(a+2))/((a+2)(4-a²)):(2a/(4-a²))
Далее, для деления дробей мы можем поменять знак делителя и умножить:
((a-2)(4-a²) - (a+2)(a+2))/((a+2)(4-a²)):(2a/(4-a²)) = ((a-2)(4-a²) - (a+2)(a+2))/((a+2)(4-a²)) * ((4-a²)/2a)
Теперь мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе:
((a-2)(4-a²) - (a+2)(a+2))/((a+2)(4-a²)) * ((4-a²)/2a) = ((a-2)(4-a²) - (a+2)(a+2))/(2a)
Таким образом, упрощенное выражение равно ((a-2)(4-a²) - (a+2)(a+2))/(2a)
Начнем с упрощения данного выражения:
(a-2)/(a+2) - (a+2)/(4-a²):2a/(4-a²)
Первое слагаемое обратим в вид общего знаменателя:
(a-2)/(a+2) = (a-2)(4-a²)/(a+2)(4-a²) = (a-2)(4-a²)/(4-a²)(a+2)
Второе слагаемое можно представить в виде разности квадратов:
(a+2)/(4-a²) = (a+2)/(2+a)(2-a) = (a+2)/[-(a-2)(a+2)] = -(a+2)/(a-2)(a+2) = -1/(a-2)
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
[(a-2)(4-a²)/(4-a²)(a+2)] - [-1/(a-2)] = [(a-2)(4-a²) + 1] / [(4-a²)(a+2)]
Замечаем, что (4-a²) здесь является разностью квадратов, поэтому (4-a²) = (2-a)(2+a):
[(a-2)(4-a²) + 1] / [(4-a²)(a+2)] = [(a-2)(2-a)(2+a) + 1] / [(2-a)(2+a)(a+2)]
Упрощаем числитель:
[(a-2)(2-a)(2+a) + 1] = [(a-2)(-1)(2+a) + 1] = [-(a-2)(2+a) + 1] = [-(a² - a - 2a + 4) + 1] = [-(a² - 3a + 3) + 1] = [3a - a² - 2]
Итак, окончательный результат:
[(3a - a² - 2)] / [(2-a)(2+a)(a+2)]
Давайте разберемся сначала в числителях и знаменателях.
Числитель:
a-2/a+2 - a+2/4-a²
Знаменатель:
2a/4-a²
Сначала преобразуем числитель. Найдем общий знаменатель для двух дробей:
(a-2)(4-a²) - (a+2)(a+2)
(4a-8-a^3+2a^2) - (a^2+4a+4)
Теперь выразим знаменатель:
2a/4-a² = 2a/(2a)(2-a)(2+a)
Теперь разделим числитель на знаменатель:
((4a-8-a^3+2a^2) - (a^2+4a+4)) / (2a)(2-a)(2+a)
(-a^3+2a^2-4a-8-a^2-4a-4) / (2a)(2-a)(2+a)
(-a^3+a^2-8) / (2a)(2-a)(2+a)
Теперь мы можем упростить это выражение, но его можно упростить дальше, оно уже находится в упрощенном виде.