Решение неравенств методом интервалов
У неравенства (x-4)(x+3)(x+4)>0 в интервале какие промежутки будут с минусом, а какие с плюсом? Объясните, почему. Мне не очень понятно, как это сделать.
Ответ
Подробно:
Чтобы решить это неравенство методом интервалов, нам нужно выполнить следующие шаги:
1. Определить нули при множителях, то есть значения x, при которых каждый из множителей равен нулю. В нашем случае это значения x = 4, x = -3 и x = -4.
2. Отметить эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (то есть "больше", а не "больше или равно"), эти точки не входят в решение неравенства.
3. Числовая прямая разбивается этими точками на интервалы. В данном случае интервалы будут: (-∞, -4), (-4, -3), (-3, 4) и (4, +∞).
4. Для каждого интервала определяем знак произведения. Так как знак произведения меняется при прохождении через каждый ноль (если корень кратности 1), начнем с самого правого интервала (4, +∞) и двигаемся влево, чередуя знаки.
В интервале (4, +∞), когда x больше 4, все множители будут положительными ((x-4) > 0, (x+3) > 0, (x+4) > 0), значит, знак произведения в этом интервале будет плюс.
Переходя через точку x = 4, знак множителя (x-4) меняется на противоположный, но знаки (x+3) и (x+4) останутся положительными для интервала (-3, 4). Это значит, что в интервале (-3, 4) знак произведения будет минус.
Переходя через точку x = -3, знак множителя (x+3) меняется на противоположный, а знак (x-4) остаётся отрицательным и (x+4) положительным для интервала (-4, -3). Поэтому в интервале (-4, -3) знак произведения снова будет плюс.
Наконец, переходя через точку x = -4, множитель (x+4) меняет знак на противоположный, а знаки (x+3) и (x-4) для интервала (-∞, -4) будут положительными. Это означает, что в интервале `(-∞, -4)` знак произведения опять будет минус.
Итак, подведем итоги:
- (-∞, -4) - знак минус
- (-4, -3) - знак плюс
- (-3, 4) - знак минус
- (4, +∞) - знак плюс
Ответ: (-4, -3) и (4, +∞).
