Функциональный анализ. Доказать, что в пространстве измеримых по Лебегу функций не существует метрики.
Доказать, что в пространстве измеримых по Лебегу функций [a, b] -> R (заданных с точностью до множества меры нуль) не существует метрики, сходимость в которой совпадает со сходимостью почти всюду. (Подсказка: рассмотреть последовательность функций, сходящихся по мере, не сходящихся почти всюду, в которой выбрать подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. )
Предположим, что существует метрика, сходимость в которой совпадает со сходимостью почти всюду для пространства измеримых функций на [a, b]. Рассмотрим последовательность функций {f_n}, где каждая функция f_n принимает значение 1 на интервале [a, a + 1/n) и равна нулю в остальных точках.
Эта последовательность сходится к функции f, которая равна 1 на [a, b) и равна 0 в точке b. Последовательность {f_n} сходится по мере к f, так как мера каждого отдельного интервала [a, a + 1/n) стремится к нулю.
Однако эта последовательность не сходится почти всюду к f, потому что для любой точки x в [a, b), найдется бесконечное количество членов последовательности, для которых f_n(x) равно 1, а следовательно, предел в этой точке не равен значению f(x).
Таким образом, мы получаем противоречие: последовательность сходится по мере, но не сходится почти всюду. Это доказывает, что не существует такой метрики, сходимость в которой совпадает со сходимостью почти всюду в данном пространстве измеримых функций.
Пример Рисса гугли