Планиметрия. 11 класс

Question

Планиметрия. 11 класс

- Ученик (92), на голосовании 1 год назад

Первая окружность проходит через вершины А и В треугольника АВС и пересекает стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно. Вторая окружность проходит через точки D и Е и пересекает продолжения сторон ВС и АС за вершину С в точках М и N соответственно.
Б) Прямые MD и NE вторично пересекают первую окружность в точках Х и Y соответственно. Найдите ее радиус, если AX=XY=2, а АВ=4.

Дополнен 1 год назад

С решением!

Answer 1

murwef Знаток (427) 1 год назад

Ответ: б) 2.

ЛамриэПросветленный (21482) 1 год назад

Вот бы посмотреть на человека, который придумывает такие задачи... Я серьезно!

Answer 2

Жутко замороченный чертёж и на удивление несложное решение. Основное утверждение, на котором будет основано мое решение, заключается в том, что AXYB — трапеция

Голубые углы MDN и MEN опираются на одну дугу и поэтому равны. А тогда равны и розовые углы ADX и YEB (вертикальные с голубыми). Теперь проабузим лемму о том, что равные хорды стягивают равные дуги:

AX = XY = 2 по условию (поэтому и дуги AX и AY тоже равны)
AX = BY = 2, потому что дуги AX и BY равны (так как равны углы ADX и YEB)

Пусть градусная мера равных дуг AX, XY и BY равна x. Тогда угол XAY равен 2x, а угол AXY равен 180 - 2x. Получается AB параллельна XY, то есть AXYB — равнобедренная трапеция.

Дальше можно действовать по-разному (например, можно увидеть кусочек правильного шестиугольника). Если достроить AXYB до равнобедренного треугольника AZB, видим, что XY — его средняя линия, причём ZX = AX = XY = BY = YZ = 2, поэтому треугольники XYZ и ABZ равносторонние. Получается, угол ABY равен 60 градусов, поэтому дуга AX и соответственно угол ADX равны 30 градусов.

Теперь ищем радиус розовой окружности через теорему синусов для треугольника ADX
2R = AX / sin(ADX) = 2 / 0.5 = 4 => R = 2